Задача № 85

Решение

Алгоритмов решения такого задания много. От аналитических способов до полного перебора на компьютере. Рассмотрим три способа решения задачи.

• Аналитический способ
• Таблица истинности
• Решение на Python

Рассуждаем. Аналитический способ

Посмотрим на логическое выражение и таблицу истинности. Мы рассматриваем только ложные случаи дизъюнкции. Дизъюнкция «ИЛИ» ложна только тогда, когда ложны все высказывания.

Получается, что каждое из высказываний должно быть ложно и мы можем их рассматривать отдельно. Перепишем логическое выражение.

\[\begin{cases} x \land ¬y = 0\\ y ≡ z = 0 \\ ¬w = 0 \end{cases}\]

Начнём с выражения, которое содержит только одну переменную: \( ¬w \). Чтобы оно было всегда ложно, \( w \) должно быть всегда истинно. Такое возможно только в первом столбце таблицы. Заполним

Далее рассмотрим выражение \( y ≡ z \). Между переменными эквиваленция. Она ложна, когда \(y\) и \(z\) разные по значению. Такое возможно во втором и третьем столбце таблицы. Получается, что четвёртый столбец — это \(x\). Заполним

Все строки в таблицы должны быть различные. Посмотрим на две последние строки. Чтобы они не совпадали, \(x\) должен быть равен 1. Заполним

Рассмотрим первое выражение \( x \land ¬y \) и последнюю строку таблицы. Конъюнкция «И» ложна, когда ложно хотя бы одно из высказываний. Если \( x = 1 \), то \( ¬y \) должен быть равен нулю. Значит \( y = 1 \). Такое выполняется в третьем столбце. Заполним

Последняя переменная занимает неподписанный столбец. Можно записать ответ: wzyx

Построим таблицу истинности

# напечатаем имена переменных
print('x y z w F')

# переберём все возможные значения для x, y, z и w
for x in 0, 1:
    for y in 0, 1:
        for z in 0, 1:
            for w in 0, 1:
                # запишем логическое выражение
                # обратите внимание на скобки вокруг not
                F = int( (x and (not y)) or (y == z) or (not w) )

                # если значение функции равно нулю, выводим
                if F == 0:
                    print(x, y, z, w, F)

Запустим код и получим таблицу истинности.

Сопоставим таблицы. Столбец из всех единиц можно разместить только первым.

Столбец с переменной \(y\) содержит всего один ноль. Его можно разместить только в третьем столбце таблицы. Запишем

Когда \(y = 0\) переменная \(z\) должна быть истинна. Такое возможно только если \( z \) разместить во втором столбце. Запишем

Переменная \(x\) занимает неподписанный столбец. Можно записать ответ: wzyx

Python. Подбираем ответ

# подключаем стандартные библиотеки
from itertools import permutations, product


# напишем функцию, которая получает переменные и возвращает результат функции
def F(x, y, z, w):
    # обратите внимание на скобки вокруг not
    return (x and (not y)) or (y == z) or (not w)


# заполним пропуски в таблице
# с помощью product рассмотрим все возможные варианты таблиц
for a1, a2, a3, a4 in product((0, 1), repeat=4):
    table = (
        (a1, a2, 0, 0),
        (1, 0, a3, 0),
        (1, 0, 1, a4),
    )

    # по условию задачи строки таблицы неповторяющиеся
    # проверяем это условие
    if len(table) == len(set(table)):
        # рассматриваем все перестановки для переменных
        for var in permutations('xyzw'):
            # если при такой перестановке все строки дали нужный
            # выводим ответ
            if [F(**dict(zip(var, row))) for row in table] == [0, 0, 0]:
                # звездочка нужна, чтобы не видеть лишних символов
                print(*var)

После запуска кода сразу видим ответ на задачу. Записываем его без пробелов.