ЕГЭ задание 14. Системы счисления
Значение арифметического выражения \( 7^{170} + 7^{100} - x, \) где \( x \) – целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 7-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение \( x \), при котором в 7-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 71 нуль.

Значение арифметического выражения
\[ 3 \cdot 3125^8 + 2 \cdot 625^7 - 4 \cdot 625^6 + 3 \cdot 125^5 - 2 \cdot 25^4 - 2025 \]
записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

Определите сумму числовых значений цифр в 27-ричной записи числа, заданного выражением:
\[ 2 \cdot 729^{2014} + 2 \cdot 243^{2016} - 2 \cdot 81^{2018} + 2 \cdot 27^{2020} - 2 \cdot 9^{2022} - 2024 \]

Определите в 25-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 10:
\[ 4 \cdot 3125^{2019} + 3 \cdot 625^{2020} - 2 \cdot 125^{2021} + 25^{2022} - 4 \cdot 5^{2023} - 2024 \]

Определите в 27-ричной записи числа количество цифр с числовым значением, превышающим 9:
\[ 3 \cdot 2187^{2020} + 3 \cdot 729^{2021} - 2 \cdot 81^{2022} + 27^{2023} - 4 \cdot 3^{2024} - 2029 \]

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 27.
\[ 123x24_{27} + 135x78_{27} \]
В записи чисел переменной \( x \) обозначена неизвестная цифра из алфавита 27-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение \( x \), при котором значение данного арифметического выражения кратно 26. Для найденного \( x \) вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 26 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19.
\[ 5x642535_{19} + 78x11114_{19} +9334x39_{19} \]
В записи чисел переменной \( x \) обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение \( x \), при котором значение данного арифметического выражения кратно 18.
Для найденного \( x \) вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.
Основание системы счисления указывать не нужно.

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19.
\[ 98897x21_{19} + 2x923_{19} \]
В записи чисел переменной \( x \) обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение \( x \), при котором значение данного арифметического выражения кратно 18.
Для найденного \( x \) вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.
Основание системы счисления указывать не нужно.
